Question

1．在△ABC中，A，B，C的對邊為a，b，c，已知$\frac{cosA-2cosC}{cosB}$=$\frac{2c-a}$，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，角C為銳角．
（1）求角C的大小；
（2）若c=$\sqrt{7}$，且△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用正弦定理可得：$\frac{cosA-2cosC}{cosB}$=$\frac{2sinC-sinA}{sinB}$，化簡可得sinC=2sinA即可得出．
（2））由△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，ab=6．再利用余弦定理7=c²=a²+b²-2abcosC，即可得出．

解答 解：（1）由$\frac{cosA-2cosC}{cosB}$=$\frac{2c-a}$，
利用正弦定理可得：$\frac{cosA-2cosC}{cosB}$=$\frac{2sinC-sinA}{sinB}$，
化為sinBcosA-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB．
∴sinC=sin（A+B）=2sin（B+C）=2sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵角C為銳角．
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴ab=6．①
∵c=$\sqrt{7}$，
∴7=c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-6，
∴a²+b²=13=（a+b）²-2ab=（a+b）²-12，可得：a+b=5，②
∴聯(lián)立①②，可解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面積計算公式、兩角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．