Question

5．已知⊙C的圓心在直線y=x上，且與直線y=1相切與點（-1，1）．
（1）求⊙C的標準方程；
（2）求過點P（0，1）且被⊙C截得弦長為$2\sqrt{3}$的直線的方程；
（3）已知⊙O：x²+y²=r²（r＞0），是否存在這樣的r的值使得⊙O能平分⊙C的周長？若存在，求出r的值；若不存在，請說明你的理由．

Answer 1

分析 （1））由⊙C與直線y=1相切與點（-1，1），可得圓心在直線x=-1上．
即故圓心坐標為（-1，-1），從而半徑為2．即可；
（2）根據(jù)弦長、半徑，求出圓心到直線的距離，當斜率存在時，設出直線的方程，利用點到直線的距離公式求得k．當斜率不存在時，進而驗證．
（3）若⊙O能平分⊙C的周長，則它們的公共弦必過⊙C的圓心．可得公共弦所在的直線方程為：2x+2y+r²-2=0．將C（-1，-1）代入，解得r．

解答 解：（1）∵⊙C與直線y=1相切與點（-1，1），故圓心在直線x=-1上．
又圓心在直線y=x上，故圓心坐標為（-1，-1），從而半徑為2．
故⊙C的標準方程為（x+1）²+（y+1）²=4；
（2）∵直線截得圓所得弦長為$2\sqrt{3}$，圓的半徑為2，
由弦長公式可知圓心C（-1，-1）到該直線的距離$d=\sqrt{{2^2}-{{（\sqrt{3}）}^2}}=1$．
若過P的直線不存在斜率，即x=0，經(jīng)檢驗圓心到其距離為1，符合題意，
若過P的直線存在斜率設為k，則直線方程為kx-y+1=0，
則$d=\frac{{|{k•（-1）-（-1）+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解得$k=\frac{3}{4}$，此時直線方程為3x-4y+4=0，
綜上所述，符合題意的直線方程為x=0或3x-4y+4=0；
（3）若⊙O能平分⊙C的周長，則它們的公共弦必過⊙C的圓心．
將兩圓方程對應相減，可得公共弦所在的直線方程為：2x+2y+r²-2=0．
將C（-1，-1）代入，解得r²=6，$r=\sqrt{6}$．
經(jīng)檢驗，此時兩圓位置關系屬于相交，符合題意．

點評 本題主要考查了直線與圓的方程問題．解題過程中對直線斜率不存在的情況一定不要疏漏．考查了轉化思想，屬于中檔題．