Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²-ax-alnx（a∈R），$g（x）=-{x^3}+\frac{5}{2}{x^2}+2x-6$
（1）若f（x）的一個極值點為1，求a的值；
（2）設(shè)g（x）在[1，4]上的最大值為b，當(dāng)x∈[1，+∞）時，f（x）≥b恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=0，求出a的值并檢驗即可；
（2）求出g（x）的最大值，問題等價于a≤$\frac{x2}{x+lnx}$在x∈[e，+∞）時恒成立，令h（x）=$\frac{x2}{x+lnx}$，x∈[1，+∞），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）$f'（x）=2x-a-\frac{a}{x}$，
令f'（1）=2-a-a=0，則a=1…（3分）
經(jīng)檢驗，當(dāng)a=1時，1是f（x）的一個極值點…（4分）
（2）g'（x）=-3x²+5x+2=-（x-2）（3x+1），
所以g（x）在[1，2]上是增函數(shù)，[2，4]上是減函數(shù)，
g（x）_max=g（2）=0…（7分）
f（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，
由x∈[1，+∞）知，x+ln x＞0，…（8分）
所以f（x）≥0恒成立，
等價于a≤$\frac{x2}{x+lnx}$在x∈[e，+∞）時恒成立，…（9分）
令h（x）=$\frac{x2}{x+lnx}$，x∈[1，+∞），
有h′（x）=$\frac{x（x-1+2lnx）}{（x+lnx）2}$＞0，…（10分）
所以h（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
有h（x）≥h（1）=1，所以a≤1 …（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．