Question

5．（1）等差數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，已知a_m-1+a_m+1-a_m²=0，S_2m-1=38，求m；
（2）設等差數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，若S₃=9，S₆=36，求a₇+a₈+a₉；
（3）若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，求這個數(shù)列的項數(shù)；
（4）已知數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=4n-25，求數(shù)列{|a_n|}的前n項和并說出判斷數(shù)列是等差數(shù)列的基本方法．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的性質得a_m-1+a_m+1=2a_m，從而得到a_m=0（舍）或a_m=2，由此能求出m的值．
（2）由等差數(shù)列的性質得S₃，S₆-S₃，S₉-S₆成等差數(shù)列，由此能求出a₇+a₈+a₉的值．
（3）設這個數(shù)列的項數(shù)為n，由等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式列出方程，由此能求出項數(shù)n．
（4）由a_n=4n-25＞0得，n＞$\frac{25}{4}$，由此分n≤6和n≥7分類討論能求出S_n．判斷數(shù)列是等差數(shù)列的基本方法最常用的是兩種方法用定義證明或用等差數(shù)列的性質證明．

解答 解：（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質可得：a_m-1+a_m+1=2a_m，
∵a_m-1+a_m+1-a_m²=0，
∴a_m-1+a_m+1-a_m²=a_m（2-a_m）=0，
解得：a_m=0或a_m=2，
若a_m=0，則S_2m-1=（2m-1）a_m=38不成立，∴a_m=2，
∴S_2m-1=$\frac{1}{2}$（2m-1）（a₁+a_m-1）=（2m-1）a_m=4m-2=38，
解得m=10．
（2）∵等差數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，S₃=9，S₆=36，
由等差數(shù)列的性質得S₃，S₆-S₃，S₉-S₆成等差數(shù)列，
即9，27，S₉-S₆成等差數(shù)列，
∴2×27=9+（S₉-S₆），
解得a₇+a₈+a₉=S₉-S₆=2×27-9=45．
（3）設這個數(shù)列的項數(shù)為n，
∵這個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，
∴$\frac{n}{2}•\frac{1}{3}（34+146）=390$，
解得n=13．
（4）由a_n=4n-25＞0得，n＞$\frac{25}{4}$，
①當n≤6時，
S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=-（a₁+a₂+…+a_n）
=-（$\frac{-21+4n-25}{2}$）n
=-2n²+23n．
②當n≥7時，
S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=-（a₁+a₂+…+a₆）+（a₇+a₈+…+a_n）
=-2×36+23×6+$\frac{3+4n-25}{2}$（n-6）
=66+（2n-11）（n-6）
=2n²-23n+132．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2{n}^{2}+23n，n≤6}\\{2{n}^{2}-23n+132，n≥7}\end{array}\right.$．
判斷數(shù)列是等差數(shù)列的基本方法最常用的是兩種方法：
（i）用定義證明，即證明a_n-a_n-1=d（常數(shù)）．
 （ii）用等差數(shù)列的性質證明，即證明2a_n=a_n-1+a_n+1．

點評 本題考查等差數(shù)列的性質的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質的合理運用．