Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d∈（0，1），且

sin(a3+a7)sin(a3-a7)

sina5cosa5

=-2，當(dāng)n=10時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n取得最小值，則首項(xiàng)a₁的取值范圍為（　�。�

• A、[-

  5π

  4

  ，-

  9π

  8

  ]
• B、[-

  5π

  4

  ，-

  9π

  8

  ）
• C、（-

  π

  4

  ，-

  9π

  8

  ]
• D、（-

  5π

  4

  ，-

  9π

  8

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：把已知的等式變形，得到sin4d=1，結(jié)合d的范圍求出d的值，再由當(dāng)n=10時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n取得最小值得到

a10=a1+9d＜0 a11=a1+10d＞0

，求出a₁的范圍后代入d的值得答案．

解答： 解：由

sin(a3+a7)sin(a3-a7)

sina5cosa5

=-2，得
sin（a₇+a₃）sin（a₇-a₃）=sin（2a₅），
∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴sin（a₇+a₃）=sin（2a₅）
于是sin（a₇-a₃）=1，
即sin4d=1，0＜d＜1
于是d=

π

8

．
∵當(dāng)n=10時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n取得最小值，
∴

a10=a1+9d＜0 a11=a1+10d＞0

，解得-10d＜a₁＜-9d．
∴-

5π

4

＜a1＜-

9π

8

．
即a₁的取值范圍為(-

5π

4

，-

9π

8

)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了不等式組的解法，是中檔題．