Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意，點(diǎn)都在函數(shù) 的圖象上.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）已知數(shù)列滿足，若對任意，存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）.

【解析】

（1）將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得到，令，由可求出的值，令，由得，兩式相減得出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）利用分組求和法與裂項(xiàng)法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，由題意得出，判斷出數(shù)列各項(xiàng)的符號，得出數(shù)列的最大值為，利用函數(shù)的單調(diào)性得出該函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，然后解不等式可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得到.

當(dāng)時(shí)，，即，解得；

當(dāng)時(shí)，由得，

上述兩式相減得，得，即.

所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，；

（2），，

因此，①

，②

由①②得，

所以；

（3）．

令為的前項(xiàng)和，

則.

因?yàn)?/span>，，，，

當(dāng)時(shí)，，

令，，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，，

則，即，

那么當(dāng)時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，此時(shí)，則.

因此，數(shù)列的最大值為.

又，函數(shù)單調(diào)遞增，

此時(shí)，函數(shù)的最大值為．

因?yàn)閷θ我獾?/span>，存在，.

所以，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.