【題目】已知A,B,C是橢圓W: 上的三個點,O是坐標原點.
(1)當點B是W的右頂點,且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積;
(2)當點B不是W的頂點時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由.
【答案】
(1)解:∵四邊形OABC為菱形,B是橢圓的右頂點(2,0)
∴直線AC是BO的垂直平分線,可得AC方程為x=1
設A(1,t),得 ,解之得t=
(舍負)
∴A的坐標為(1, ),同理可得C的坐標為(1,﹣
)
因此,|AC|= ,可得菱形OABC的面積為S=
|AC||B0|=
;
(2)解:∵四邊形OABC為菱形,∴|OA|=|OC|,
設|OA|=|OC|=r(r>1),得A、C兩點是圓x2+y2=r2
與橢圓W: 的公共點,解之得
=r2﹣1
設A、C兩點橫坐標分別為x1、x2,可得A、C兩點的橫坐標滿足
x1=x2=
,或x1=
且x2=﹣
,
①當x1=x2=
時,可得若四邊形OABC為菱形,則B點必定是右頂點(2,0);
②若x1=
且x2=﹣
,則x1+x2=0,
可得AC的中點必定是原點O,因此A、O、C共線,可得不存在滿足條件的菱形OABC
綜上所述,可得當點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能為菱形.
【解析】(1)根據(jù)B的坐標為(2,0)且AC是OB的垂直平分線,結合橢圓方程算出A、C兩點的坐標,從而得到線段AC的長等于 .再結合OB的長為2并利用菱形的面積公式,即可算出此時菱形OABC的面積;(2)若四邊形OABC為菱形,根據(jù)|OA|=|OC|與橢圓的方程聯(lián)解,算出A、C的橫坐標滿足
=r2﹣1,從而得到A、C的橫坐標相等或互為相反數(shù).再分兩種情況加以討論,即可得到當點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能為菱形.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知正項數(shù)列的前
項和為
,對任意
,點
都在函數(shù)
的圖象上.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若數(shù)列,求數(shù)列
的前
項和
;
(3)已知數(shù)列滿足
,若對任意
,存在
使得
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某縣經(jīng)濟最近十年穩(wěn)定發(fā)展,經(jīng)濟總量逐年上升,下表是給出的部分統(tǒng)計數(shù)據(jù):
序號 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
年份 | 2008 | 2010 | 2012 | 2014 | 2016 |
經(jīng)濟總量 | 236 | 246 | 257 | 275 | 286 |
(1)如上表所示,記序號為,請直接寫出
與
的關系式;
(2)利用所給數(shù)據(jù)求經(jīng)濟總量與年份
之間的回歸直線方程
;
(3)利用(2)中所求出的直線方程預測該縣2018年的經(jīng)濟總量.
附:對于一組數(shù)據(jù),
其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:
,
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,單位圓
上存在兩點
,滿足
均與
軸垂直,設
與
的面積之和記為
.
若
,求
的值;
若對任意的
,存在
,使得
成立,且實數(shù)
使得數(shù)列
為遞增數(shù)列,其中
求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設過曲線上任意一點處的切線為
,總存在過曲線
上一點處的切線
,使得
,則實數(shù)
的取值范圍為_____________________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知矩形ABCD,AB=1,BC= .將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折,在翻折過程中( )
A.存在某個位置,使得直線AC與直線BD垂直
B.存在某個位置,使得直線AB與直線CD垂直
C.存在某個位置,使得直線AD與直線BC垂直
D.對任意位置,三對直線“AC與BD”,“AB與CD”,“AD與BC”均不垂直
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