Question

16．設(shè)x＞0，y＞0，已知（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x+1）（$\sqrt{{y}^{2}+1}$-y+1）=2，則xy-2=-1．

Answer 1

分析 設(shè)x=tanα＞0，y=tanβ＞0，代入已知條件，運(yùn)用三角函數(shù)恒等變換公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求值．

解答 解：設(shè)x=tanα＞0，y=tanβ＞0，
則（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x+1）（$\sqrt{{y}^{2}+1}$-y+1）=2
即為（$\sqrt{1+ta{n}^{2}α}$-tanα+1）（$\sqrt{1+ta{n}^{2}β}$-tanβ+1）=2，
即有（secα-tanα+1）（secβ-tanβ+1）=2，
即$\frac{1-sinα+cosα}{cosα}$•$\frac{1-sinβ+cosβ}{cosβ}$=2，
由$\frac{2co{s}^{2}\frac{α}{2}-2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}}{（cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}）（cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2}）}$=$\frac{2cos\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2}}$=$\frac{2}{1+tan\frac{α}{2}}$，
可得$\frac{2}{1+tan\frac{α}{2}}$•$\frac{2}{1+tan\frac{β}{2}}$=2，
即有（1+tan$\frac{α}{2}$）（1+tan$\frac{β}{2}$）=2，
即tan$\frac{α}{2}$+tan$\frac{β}{2}$=1-tan$\frac{α}{2}$tan$\frac{β}{2}$，
可得tan$\frac{α+β}{2}$=$\frac{tan\frac{α}{2}+tan\frac{β}{2}}{1-tan\frac{α}{2}tan\frac{β}{2}}$=1，
由α，β為銳角，可得$\frac{α+β}{2}$=45°，
則α+β=90°，
即有xy-2=tanαtanβ-2=tanαtan（90°-α）-2
=tanαcotα-2=1-2=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查運(yùn)用三角換元求值的方法，考查三角函數(shù)的恒等變換公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于難題．