Question

4．已知函數(shù)f（x）=2^x+a•2^-x是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（I）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）證明f（x）是R上是單調(diào)函數(shù)；
（Ⅲ）若對(duì)于任意的μ＞0，不等式f[（lgμ）²-lgμ²]+f[（lgμ）²-k]＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）依題意，由f（0）=0可求得實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）利用定義證明，令x₁＜x₂，作差化簡(jiǎn)后為f（x₂）-f（x₁）=（${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}$），再判斷符號(hào)，即可證明f（x）是R上是單調(diào)（增）函數(shù)；
（Ⅲ）令t=lgμ，結(jié)合題意，利用奇函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)的性質(zhì)，可得2t²-2t-k＞0在t∈R上恒成立，由△=4+8k＜0，可求得k的取值范圍．

解答 解：（ I）∵f（x）=2^x+a•2^-x是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴f（0）=1+a=0，∴a=-1，
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）是奇函數(shù)，故所求a=-1．…（2分）
（Ⅱ）f（x）=2^x-2^-x，?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=（${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{-x}_{2}}$）-（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{-x}_{1}}$）=（${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}$）…（4分）
∵x₁＜x₂，∴0＜${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，即${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的遞增函數(shù)，即f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)．…（6分）
（Ⅲ）令t=lgμ，則
∵根據(jù)題設(shè)及（2）知：f（t²-2t）+f（t²-k）＞0?f（t²-2t）＞-f（t²-k）=f（k-t²）?t²-k＞k-t²?2t²-2t-k＞0，…（10分）
∴原不等式恒成立即是2t²-2t-k＞0在t∈R上恒成立，
∴△=4+8k＜0，
∴所求k的取值范圍是k＜-$\frac{1}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查奇偶性的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算、推理能力，屬于難題．