Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)是否存在極值，若存在，請(qǐng)求出極值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)時(shí)．證明：．

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）時(shí)，無(wú)極值，時(shí)，有極大值,無(wú)極小值；（3）證明見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得和的解集，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意得出的解析式，得出，按和兩種情況分類(lèi)討論，即可得出的極大值與極小值；（3）設(shè)，轉(zhuǎn)化為證，只需證明，取出，得出的單調(diào)性，設(shè)的根為，此時(shí)，進(jìn)而可得以證明．

試題解析：（1）（）．

令，即，得，故的增區(qū)間為；

令，即，得，故的減區(qū)間為；

∴的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為．

（2）（）

（）

當(dāng)時(shí)，恒有∴在上為增函數(shù)，故在上無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，令，得

，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減．

∴，無(wú)極小值；

綜上所述：時(shí)，無(wú)極值

時(shí)，有極大值,無(wú)極小值．

（3）證明：設(shè)（），則即證，只要證

∵，∴，

又在上單調(diào)遞增

∴方程有唯一的實(shí)根，且．

∵當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，

∴當(dāng)時(shí)，

∵即，則 ∴

∴原命題得證