Question

12．若P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上位于x軸上方的一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，Q為PF的中點(diǎn)，且|OQ|=4，則直線PF的斜率為$\sqrt{63}$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的右焦點(diǎn)為E，由已知推導(dǎo)出PE=8，PF=2，EF=8，利用余弦定理求出cos∠PFE，由此能求出直線PF的斜率．

解答 解：如圖，設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的右焦點(diǎn)為E
∵P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上位于x軸上方的一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，Q為PF的中點(diǎn)，且|OQ|=4，
∴OQ是△PEF的中位線，∴PE=2OQ=8，
∴PF=2a-8=2×5=8=2，EF=2c=8，
∴cos∠PFE=$\frac{P{F}^{2}+E{F}^{2}-P{E}^{2}}{2PF•EF}$=$\frac{4+64-64}{2×2×8}$=$\frac{1}{8}$，
∴sin∠PFE=$\sqrt{1-\frac{1}{64}}$=$\frac{\sqrt{63}}{8}$，∴tan∠PFE=$\sqrt{63}$．
∴直線PF的斜率為$\sqrt{63}$．
故答案為：$\sqrt{63}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．