Question

內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓柱的高為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體

專(zhuān)題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)球內(nèi)接圓柱的高為h，圓柱底面半徑為r，得圓柱體積V關(guān)于h的函數(shù)表達(dá)式：V（h）=πR²h-

1

4

πh³（0＜h＜2R）．利用求導(dǎo)數(shù)的方法，討論函數(shù)V（h）的單調(diào)性，可得當(dāng)h=

2 3 R

3

時(shí)，V（h）取得最大值，得到本題的答案．

解答： 解：設(shè)球內(nèi)接圓柱的高為h，圓柱底面半徑為r
則h²+（2r）²=（2R）²，得r²=R²-

1

4

h²．（0＜h＜2R）
∴圓柱的體積為V（h）=πr²h=πh（R²-

1

4

h²）=πR²h-

1

4

πh³．（0＜h＜2R）
求導(dǎo)數(shù)，得V'（h）=πR²-

3

4

πh²=π（R+

3 h

2

）（R-

3 h

2

）
∴0＜h＜

2 3 R

3

時(shí)，V'（h）＞0；

2 3 R

3

＜h＜2R時(shí)，V'（h）＜0
由此可得：V（h）在區(qū)間（0，

2 3 R

3

）上是增函數(shù)；在區(qū)間（

2 3 R

3

，2R）上是減函數(shù)
∴當(dāng)h=

2 3 R

3

時(shí)，V（h）取得最大值．
故答案為：

2 3 R

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了球和圓柱的有關(guān)知識(shí)以及函數(shù)建模以及用導(dǎo)數(shù)這一工具求最值的方法，屬于中檔題．