Question

如圖1，⊙O的直徑AB=2，圓上兩點(diǎn)C，D在直徑AB的兩側(cè)，使∠CAB=

π

4

，∠DBA=

π

6

，沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直（如圖2），E為AO的中點(diǎn)．

（1）求證：CB⊥DE；
（2）求三棱錐C-BOD的體積；
（3）求二角C-BD-O的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可得DE⊥AO，再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得到DE⊥平面ABC，進(jìn)而得出結(jié)果．
（2）Rt△ADB中，AB=2，AD=1，O到DB的距離為OF=

1

2

，△OBD的面積為

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

，求解體積即可．
（3）確定∠CFO為二角C-BD-O的平面角，運(yùn)用直角三角形求解即可．

解答： （Ⅰ）證明：在△AOD中，∠DBA=

π

6

，
∵∠OAD=

π

3

，OA=OD，
∴△AOD為正三角形，
又∵E為OA的中點(diǎn)，
∴DE⊥AO，
∵兩個(gè)半圓所在平面ACB與平面ADB互相垂直且其交線為AB，
∴DE⊥平面ABC．
又CB?平面ABC，
∴CB⊥DE．
（2）∵⊙O的直徑AB=2，∠CAB=

π

4

，
∴OC⊥AB，OC=2，OC⊥平面ADB，
∵∠DBA=

π

6

，

∴Rt△ADB中，AB=2，AD=1，O到DB的距離為OF=

1

2

，
∴△OBD的面積為

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

，
∴三棱錐C-BOD的體積=

1

3

×

3

4

×2=

3

6

，
（3）∵OC⊥平面ADB，OF⊥BD，
∴BD⊥面COF，
∴BD⊥CF，
∴∠CFO為二角C-BD-O的平面角．
∴tan∠CFO=

OC

OF

=

2

1 2

=4
故二角C-BD-O的正切值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間平面中的圖形的性質(zhì)，折疊圖形，求解面積，體積問(wèn)題，夾角，垂直常見(jiàn)的問(wèn)題，注意線段的長(zhǎng)度求解看兩個(gè)圖形的求解即可．