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已知橢圓C：
x2
9
+
y2
4
=1，過點M（2，0）且斜率不為0的直線交橢圓C于A，B兩點．在x軸上若存在定點P，使PM平分∠APB，則P的坐標為
 
．
考點：橢圓的簡單性質
專題：圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：根據已知條件設出直線AB的方程x=ky+2，聯立橢圓的方程并消去x得到關于y的方程，根據韋達定理即可求出y1+y2=
-16m
4m2+9
=①，y1y2=
-20
4m2+9
 ②．而根據直線PA，PB的傾斜角互補，設P（a，0），結合①②兩式，從而可建立關于a的方程，解方程即得P點坐標．
解答： 解：設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=ky+2；
將直線AB的方程與橢圓的方程聯立，消去x得：（4m2+9）y2+16my-20=0；
∴y1+y2=
-16m
4m2+9
   ①，y1y2=
-20
4m2+9
    ②；
若PM平分∠APB，則直線PA，PB的傾斜角互補，所以kPA+kPB=0；
設P（a，0），則有
y1
x1-a
+
y2
x2-a
=0；
將 x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得
2my1y2+(2-a)(y1+y2)
(my1+2-a)(my2+2-a)
=0；
∴2my1y2+（2-a）（y1+y2）=0；
將①②帶入上式并整理得：
（-2a+9）m=0；
由于上式對任意實數m都成立，所以a=
9
2
；
∴存在定點P（
9
2
，0），使PM平分∠APB．
故答案為：(
9
2
，0)．
點評：本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，兩點確定直線的斜率，以及韋達定理．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

若a∈R，則“a2＞a”是“a＞1”的（　�。�
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、既不充分也不必要條件
D、充要條件

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科目：高中數學 來源： 題型：

正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面邊長為1，側棱長為2，且MN是AB′，BC′的公垂線，M在AB′上，N在BC′上，則線段MN的長度為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

計算：（lg5）2+lg2•lg50-log 
1
2
8+log3
427
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖1，⊙O的直徑AB=2，圓上兩點C，D在直徑AB的兩側，使∠CAB=
π
4
，∠DBA=
π
6
，沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖2），E為AO的中點．

（1）求證：CB⊥DE；
（2）求三棱錐C-BOD的體積；
（3）求二角C-BD-O的正切值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若x∈（
1
e
，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，則a、b、c的大小關系是
 
（按由小到大的順序排列）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，設P是圓O：x2+y2=2上的點，過P作直線l垂直x軸于點Q，M為l上一點，且
PQ
=
2
MQ
，當點P在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線P．
（1）求曲線P的方程；
（2）某同學研究發(fā)現：若把三角形的直角頂點放置在圓O的圓周上，使其一條直角邊過點F（1，0），則三角板的另一條直角邊所在直線與曲線P有且只有一個公共點．你認為該同學的結論是否正確？若正確，請證明；若不正確，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設a，b是實數，求證：
a2+b2
≥
2
2
（a+b）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}是首項為4，公差為1的等差數列；Sn為數列{bn}的前n項和，且Sn=n2+2n．
（1）求{an}及{bn}的通項公式an和bn；
（2）f（n）=
an，n為正奇數
bn，n為正偶數
問是否存在k∈N+使f（k+27）=4f（k）成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；
（3）若對任意的正整數n，不等式 
a
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)(1+
1
bn
)
-
1
n-1+an+1
≤0恒成立，求正數a的取值范圍．

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