Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，過F的直線l交雙曲線的漸近線于A，B兩點，且與其中一條漸近線垂直，垂足為B，若

AF

=λ

FB

，該雙曲線的離心率是

2 10

5

，則λ=（　�。�

• A、4
• B、2
• C、1
• D、

  1

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由離心率公式可得a，c的關(guān)系，求出a，b的關(guān)系，由題意得右焦點F（c，0），設(shè)一漸近線OA的方程為y=

15

5

x，則另一漸近線OB的方程為y=-

15

5

x，設(shè)A（m，

15

5

m），B（n，-

15

5

n），由向量共線和向量垂直的條件可得坐標(biāo)之間的關(guān)系，解關(guān)于c，m，n，λ的方程，即可得到λ=4．

解答： 解：由于雙曲線的離心率是

2 10

5

，則

c

a

=

2 10

5

，
則b=

c2-a2

=

15

5

a，
由題意得右焦點F（c，0），設(shè)一漸近線OA的方程為y=

15

5

x，
則另一漸近線OB的方程為y=-

15

5

x，
設(shè)A（m，

15

5

m），B（n，-

15

5

n），
∵

AF

=λ

FB

，∴（c-m，-

15

5

m）=λ（n-c，-

15

5

n），
∴c-m=λ（n-c），-

15

5

m=-λ•

15

5

n，
由FB⊥OB可得，

FB

•

OB

=0，
即n（n-c）+

3

5

n²=0，（n≠0），即有n=

5

8

c，
又m=nλ=

5

8

cλ，
即有c-

5

8

cλ=λ（

5

8

c-c），
即1-

5

8

λ=-

3

8

λ，
解得λ=4．
故選A．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)：漸近線方程和離心率的運用，考查向量的共線和向量垂直的條件，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．