Question

已知拋物線y²=8x的準(zhǔn)線與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）相交于A、B兩點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程是y=

4 3

3

x，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，且△FAB是等邊三角形，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（　　）

• A、

  x2

  36

  -

  y2

  6

  =1
• B、

  x2

  16

  -

  y2

  3

  =1
• C、

  x2

  6

  -

  y2

  32

  =1
• D、

  x2

  3

  -

  y2

  16

  =1

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意已知拋物線y²=8x的準(zhǔn)線與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，且△FAB是等邊三角形，由圓錐曲線的對(duì)稱(chēng)性和等邊三角形的性質(zhì)可求得A，B的坐標(biāo)分別為（-2，±

4 3

3

），將此點(diǎn)代入雙曲線方程，得a，b的一個(gè)方程，再由漸近線方程，又得a，b的一個(gè)方程，聯(lián)立即可求得a，b的值，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：由題意可得拋物線y²=8x的準(zhǔn)線為x=-2，焦點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），
又拋物線y²=8x的準(zhǔn)線與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1相交于A，B兩點(diǎn)，又△FAB是等邊三角形，
則有A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，橫坐標(biāo)是-2，縱坐標(biāo)是4tan30°與-4tan30°，
將坐標(biāo)（-2，±

4 3

3

）代入雙曲線方程得

4

a2

-

16

3b2

=1，①
又雙曲線的一條漸近線方程是y=

4 3

3

x，得

b

a

=

4 3

3

，②
由①②解得a=

3

，b=4．
所以雙曲線的方程是

x2

3

-

y2

16

=1．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩個(gè)圓錐曲線本身的對(duì)稱(chēng)性及拋物線y²=8x的性質(zhì)求出A，B的坐標(biāo)，得到關(guān)于參數(shù)a，b的方程，做題時(shí)一定要注意從圖形上挖掘出有價(jià)值的線索來(lái)．