如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為棱形,PA⊥底面ABCD,∠ABC=60°.E,F(xiàn),M分別是BC,CD,PB的中點(diǎn).
(1)證明:AB⊥MF;
(2)若PA=BA,求二面角E-MF-A的余弦值.
考點(diǎn):二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)
專(zhuān)題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AC為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由
AB
MF
=0,能證明AB⊥MF.
(2)求出平面MEF的法向量和平面MAF的法向量,由此利用向量法能求出二面角E-MF-A的余弦值.
解答: (1)證明:以A為原點(diǎn),AB為x軸,AC為y軸,AP為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)AB=1,PA=t(t>0),
則B(1,0,0),C(1,2,0),P(0,0,t),
M(
1
2
,0,
t
2
),F(xiàn)(
1
2
,2,0
),A(0,0,0),
AB
=(1,0,0),
MF
=(0,-2,
t
2
),
AB
MF
=0,∴AB⊥MF.
(2)設(shè)PA=BA=1,E(1,1,0),M(
1
2
,0,
1
2
),
F(
1
2
,2,0),A(0,0,0),
MF
=(0,2,-
1
2
),
ME
=(
1
2
,1,-
1
2
),
MA
=(-
1
2
,0,-
1
2
),
設(shè)平面MEF的法向量
m
=(x,y,z),
m
ME
=
1
2
x+y-
1
2
z=0
m
MF
=2x-
1
2
z=0
,取x=1,得
m
=(1,
3
2
,4),
設(shè)平面MAF的法向量
n
=(a,b,c),
n
MF
=2b-
1
2
c=0
n
MA
=-
1
2
a-
1
2
c=0
,取a=1,得
n
=(1,-
1
4
,-1),
設(shè)二面角E-MF-A的平面角為θ,
cosθ=|cos<
m
n
>|=
|
m
n
|
|
m
|•|
n
|
=
27
8
77
4
33
16
=
9
21
77

∴二面角E-MF-A的余弦值為
9
21
77
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系,線線垂直、二面角的概念、求法等知識(shí),以及空間想象能力和邏輯推理能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

數(shù)列{an}滿足a1=
1
2
,
1
an+1-1
=
1
an-1
-1(n∈N*),則a10=( 。
A、
9
10
B、
10
9
C、
10
11
D、
11
10

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若(1-x)5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,則a1 十a(chǎn)2 十a(chǎn)3十a(chǎn)4十a(chǎn)5的值等于( 。
A、-31B、0C、1D、32

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設(shè)a>1,b>1,若ab=e2,則s=blna-2e的最大值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

2008年5月12日在四川汶川地區(qū)發(fā)生了8.0級(jí)強(qiáng)烈地震,全國(guó)人民萬(wàn)眾一心,抗震救災(zāi),某市計(jì)劃用37輛汽車(chē)往災(zāi)區(qū)運(yùn)送一批救災(zāi)物資,假設(shè)汽車(chē)以v km/h的速度勻速直達(dá)災(zāi)區(qū),已知該市到災(zāi)區(qū)公路路線長(zhǎng)400 km,為了安全起見(jiàn),兩輛汽車(chē)的間距不得小于(
v
10
2km,那么這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)的最少時(shí)間是多少(精確到1h,車(chē)身長(zhǎng)不計(jì))?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知圓O:x2+y2=4,點(diǎn)A(
3
,0),以線段AB為直徑的圓內(nèi)切于圓O,記點(diǎn)B的軌跡為Γ.
(Ⅰ)求曲線Γ的方程;
(Ⅱ)直線AB交圓O于C,D兩點(diǎn),當(dāng)B為CD的中點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足(1-q)Sn+qan=1,且q(q-1)≠0.
(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若S3,S9,S6成等差數(shù)列,求證:a2,a8,a5成等差數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

解:
2x2-3x-2>0;
-3x2+6x-2>0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)G是△ABC的外心,
GA
,
GB
,
GC
是三個(gè)單位向量,且2
GA
+
AB
+
AC
=
0
,如圖所示,△ABC的頂點(diǎn)B,C分別在x軸的非負(fù)半軸和y軸的非負(fù)半軸上移動(dòng),O是坐標(biāo)原點(diǎn),則|
OA
|的最大值為( 。
A、
2
B、
3
C、2
D、3

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