Question

12．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC上的一點，AB=AC，且AD⊥BC
（1）求證；A₁C∥平面AB₁D₁
（2）若AB=BC=AA₁=2，求點A₁到平面AB₁D的距離．

Answer 1

分析 （1）連接A₁B交AB₁于E，連接DE，根據(jù)中位線定理即可得出DE∥A₁C，故而A₁C∥平面AB₁D₁；
（2）過B作BF⊥B₁D，則可證BF⊥平面AB₁D，于是點A₁到平面AB₁D的距離等于C到平面AB₁D的距離，等于B到平面AB₁D的距離BF．

解答 證明：（1）連接A₁B交AB₁于E，連接DE，
∵四邊形ABB₁A₁是平行四邊形，
∴E是AB₁的中點，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D是BC的中點，
∴DE∥A₁C，
又DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D₁．
（2）∵A₁C∥平面AB₁D₁，
∴A₁到平面AB₁D的距離等于C到平面AB₁D的距離，
∵D是BC的中點，
∴C到平面AB₁D的距離等于B到平面AB₁D的距離，
過B作BF⊥B₁D于F，
∵BB₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴AD⊥BB₁，
又∵AD⊥BC，BB₁∩BC=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∴AD⊥BF，又B₁D∩AD=D，
∴BF⊥平面AB₁D，即BF為B到平面AB₁D的距離，
∵BD=1，BB₁=2，∴B₁D=$\sqrt{5}$，
∴BF=$\frac{BD•B{B}_{1}}{{B}_{1}D}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴A₁到平面AB₁D的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面距離的計算，屬于中檔題．