Question

一袋中有6個黑球，4個白球．
（1）依次取出3個球，不放回，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率；
（2）有放回地依次取出3球，已知第一次取的是白球，求第三次取到黑球的概率；
（3）有放回地依次取出3球，求取到白球個數(shù)X的分布列、期望和方差．

Answer 1

分析：（1）由題意知在第一次取出的是白球時，求第三次取到黑球的概率，這是一個條件概率，先做出第一次取到白球的結果數(shù)，再做出第一次取到白球且第三次取到黑球的結果數(shù)，根據(jù)條件概率的公式得到結果．
（2）有放回地依次取出3球，第一次取的是白球，第三次取到黑球，這兩個事件沒有關系，只要做出從10個球中摸一個球，摸到黑球的概率就可以．
（3）取到白球個數(shù)X，由題意知X的可能取值是0，1，2，3，做出一次取到白球的概率，利用獨立重復試驗的概率公式寫出變量對應的概率，寫出分布列，根據(jù)數(shù)學期望和方差的公式進行求解．

解答：解：（1）設A=“第一次取到白球”，
B=“第二次取到白球”，C=“第三次取到白球”，
則在A發(fā)生的條件下，袋中只剩6個黑球和3個白球，
則P（

.

C

|A）=

n(A  . C )

n(A)

=

C 1 4 (C 1 3 C 1 6 +A 2 3 )

C 1 4 A 2 9

=

2

3

（2）∵每次取之前袋中球的情況不變，
∴n次取球的結果互不影響．
∴P（

.

C

）=

6

10

=

3

5

．
（3）取到白球個數(shù)X，由題意知X的可能取值是0，1，2，3
設“摸一次球，摸到白球”為事件D，
則P（D）=

4

10

=

2

5

，P（

.

D

）=

3

5

．
∵這三次摸球互不影響，
∴P（X=0）=C⁰₃（

3

5

）³，P（X=1）=C¹₃（

2

5

）（

3

5

）²，
P（X=2）=C²₃（

2

5

）²（

3

5

），P（X=3）=C³₃（

2

5

）³．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	27 125	54 125	36 125	8 125

E（X）=0×

27

125

+1×

54

125

+2×

36

125

+3×

8

125

=

6

5

；
D（X）=

27

125

×（0-

6

5

）²+

54

125

×（1-

6

5

）²+

36

125

×（2-

6

5

）²+

8

125

×（3-

6

5

）²=18．

點評：本題考查條件概率，考查獨立重復試驗概率公式，考查離散型隨機變量的分布列，本題的關鍵是理解條件中的有放回抽樣和不放回抽樣，注意認真對待前兩問．