Question

一袋中有6個黑球，4個白球．
（1）依次取出3個球，不放回，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率；
（2）有放回地依次取出3球，已知第一次取的是白球，求第三次取到黑球的概率；
（3）有放回地依次取出3球，求取到白球個數(shù)X的分布列、期望和方差．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知在第一次取出的是白球時，求第三次取到黑球的概率，這是一個條件概率，先做出第一次取到白球的結果數(shù)，再做出第一次取到白球且第三次取到黑球的結果數(shù)，根據(jù)條件概率的公式得到結果．
（2）有放回地依次取出3球，第一次取的是白球，第三次取到黑球，這兩個事件沒有關系，只要做出從10個球中摸一個球，摸到黑球的概率就可以．
（3）取到白球個數(shù)X，由題意知X的可能取值是0，1，2，3，做出一次取到白球的概率，利用獨立重復試驗的概率公式寫出變量對應的概率，寫出分布列，根據(jù)數(shù)學期望和方差的公式進行求解．
解答：解：（1）設A=“第一次取到白球”，
B=“第二次取到白球”，C=“第三次取到白球”，
則在A發(fā)生的條件下，袋中只剩6個黑球和3個白球，
則P（ |A）===
（2）∵每次取之前袋中球的情況不變，
∴n次取球的結果互不影響．
∴P（ ）==．
（3）取到白球個數(shù)X，由題意知X的可能取值是0，1，2，3
設“摸一次球，摸到白球”為事件D，
則P（D）==，P（ ）=．
∵這三次摸球互不影響，
∴P（X=0）=C₃（ ）³，P（X=1）=C¹₃（ ）（ ）²，
P（X=2）=C²₃（ ）²（ ），P（X=3）=C³₃（ ）³．
∴X的分布列為：

X		1	2	3
P

E（X）=0×+1×+2×+3×=；
D（X）=×（0-）²+×（1-）²+×（2-）²+×（3-）²=18．
點評：本題考查條件概率，考查獨立重復試驗概率公式，考查離散型隨機變量的分布列，本題的關鍵是理解條件中的有放回抽樣和不放回抽樣，注意認真對待前兩問．