12.已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),觀察程序框圖,若k=1,k=2時,分別有$S=\frac{1}{3}和S=\frac{2}{5}$.
(1)試求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令${b_n}={3^n}{a_n}$,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

分析 (1)由循環(huán)結(jié)構(gòu)可得:${S_{K=1}}=\frac{1}{3}$=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$,Sk=2=$\frac{1}ujdwkil$$(\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}})$,解出即可得出.
(2)利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出.

解答 解:(1)由循環(huán)結(jié)構(gòu)可得:${S_{K=1}}=\frac{1}{3}$=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{1}js45thf(\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{1}+d})$,${S_{k=2}}=\frac{1}0frf9nv(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{{{a_1}+d}}+\frac{1}{{{a_1}+d}}-\frac{1}{{{a_1}+2d}})=\frac{1}1t9eenq(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{{{a_1}+2d}})=\frac{2}{5}$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=-1\\ d=-2\end{array}\right.$(舍去),則an=1+(n-1)2=2n-1.
(2)${T_n}=3×1+{3^2}×3+…+{3^{n-1}}(2n-3)+{3^n}(2n-1)$,
$3{T_n}={3^2}×1+{3^3}×3+…+{3^n}(2n-3)+{3^{n+1}}(2n-1)$,
則$2{T_n}=-3-2({3^2}+{3^3}+…+{3^n})+…+{3^{n+1}}(2n-1)={3^{n+1}}(2n-1)+\frac{{3({3^n}-1)}}{2}$,
∴${T_n}=3+(n-1){3^{n+1}}$.

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”方法、循環(huán)結(jié)構(gòu),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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