【題目】如圖，已知斜三棱柱中，，在底面上的射影恰為的中點(diǎn)，且.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的平面角為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）見解析（2）（3）不存在點(diǎn)滿足要求.見解析

【解析】

（1）作交于點(diǎn)，分別以所在直線為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明；

（2）利用（1）中所建坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的一個(gè)法向量，則兩向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值即為線與面的夾角的正弦值；

（3）假設(shè)存在設(shè)（），求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)，即可求出的值，即可得證.

證明：（1）作交于點(diǎn)，分別以所在直線為 軸建系

所以，

，所以

（2）因?yàn)?/span>，所以面的一個(gè)法向量為

因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)線與平面所成角為，

（3）不存在，設(shè)，（）

,

設(shè)面的一個(gè)法向量為

有

，得

所以不存在點(diǎn)滿足要求.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．

(1) 證明：PB∥平面AEC

(2) 設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積

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【題目】已知在點(diǎn)處的切線與直線平行．

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）設(shè)．

（i）若函數(shù)在上恒成立，求的最大值；

（ii）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，并給出證明．

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【題目】如圖給出的是某高校土木工程系大四年級(jí)55名學(xué)生期末考試專業(yè)成績的頻率分布折線圖（連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)），其中組距為10，且本次考試中最低分為50分，最高分為100分.根據(jù)圖中所提供的信息，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A. 成績是75分的人數(shù)有20人

B. 成績是100分的人數(shù)比成績是50分的人數(shù)多

C. 成績落在70-90分的人數(shù)有35人

D. 成績落在75-85分的人數(shù)有35人

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【題目】設(shè)是平面內(nèi)共始點(diǎn)的三個(gè)非零向量，且兩兩不共線，有下列命題：

（1）關(guān)于的方程可能有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；

（2）關(guān)于的方程至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解；

（3）關(guān)于的方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)解；

（4）關(guān)于的方程若有實(shí)數(shù)解，則三個(gè)向量的終點(diǎn)不可能共線；

上述命題正確的序號(hào)是__________

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A. 1B. 2C. 3D. 4

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【題目】隨著西部大開發(fā)的深入，西南地區(qū)的大學(xué)越來越受到廣大考生的青睞,下表是西南地區(qū)某大學(xué)近五年的錄取平均分高于省一本線分值對(duì)比表：

年份

2015

2016

2017

2018

2019

年份代碼

1

2

3

4

5

錄取平均分高于省一本線分值

28

34

41

47

50

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；

（2）假設(shè)2020年該省一本線為520分，利用（1）中求出的回歸方程預(yù)測(cè)2020年該大學(xué)錄取平均分.

參考公式：，

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