Question

4．已知向量$\overrightarrow a=（-1，2）$，$\overrightarrow b=（2，3）$，$\overrightarrow m=λ\overrightarrow a+\overrightarrow b$，$\overrightarrow n=\overrightarrow a-\overrightarrow b$，若$\overrightarrow m$與$\overrightarrow n$垂直，則實數(shù)λ的值是9，若$\overrightarrow m$與$\overrightarrow n$的夾角為鈍角，則實數(shù)λ的取值范圍是λ＜9且λ≠-1．

Answer 1

分析 由已知向量的坐標(biāo)求出$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的坐標(biāo)，結(jié)合$\overrightarrow m$與$\overrightarrow n$垂直，由坐標(biāo)運算求得λ值；再由數(shù)量積小于0，去掉兩向量共線反向的情況求得$\overrightarrow m$與$\overrightarrow n$的夾角為鈍角的實數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：∵$\overrightarrow a=（-1，2）$，$\overrightarrow b=（2，3）$，
∴$\overrightarrow m=λ\overrightarrow a+\overrightarrow b$=λ（-1，2）+（2，3）=（2-λ，2λ+3），
$\overrightarrow n=\overrightarrow a-\overrightarrow b$=（-3，-1），
由$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，即-3（2-λ）-1×（2λ+3）=0，解得：λ=9；
若$\overrightarrow m$與$\overrightarrow n$的夾角為鈍角，則-3（2-λ）-1×（2λ+3）＜0，解得λ＜9，
但當(dāng)λ=-1時，$\overrightarrow{m}=（3，1）$，此時$\overrightarrow m$與$\overrightarrow n$共線反向，舍去．
∴若$\overrightarrow m$與$\overrightarrow n$的夾角為鈍角，則實數(shù)λ的取值范圍是λ＜9且λ≠-1．
故答案為：9，λ＜9且λ≠-1．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，注意向量共線反向的情況，是中檔題．