Question

已知數(shù)列{a_n}，a_n≠2，a_n+1=

5an-8

2an-3

，a₁=3．
（1）證明：數(shù)列{

1

an-2

}是等差數(shù)列．
（2）設(shè)b_n=a_n-2，數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項(xiàng)和為S_n，求使（2n+1）•2ⁿ⁺²•S_n＞（2n-3）•2ⁿ⁺¹+192成立的最小正整數(shù)n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的定義，進(jìn)行證明即可；
（2）確定數(shù)列{b_nb_n+1}的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：由an+1=

5an-8

2an-3

得an+1-2=

5an-8

2an-3

-2=

an-2

2an-3

…（2分）
∵a_n≠2，∴

1

an+1-2

=

2an-3

an-2

=

1

an-2

+2，
∴

1

an+1-2

-

1

an-2

=2…（5分）
∴數(shù)列{

1

an-2

}是公差為2的等差數(shù)列．  …（6分）
（2）解：由①知

1

an-2

=

1

a1-2

+(n-1)×2=2n-1…（7分）
∴bn=an-2=

1

2n-1

，
∴bnbn+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（9分）
∴Sn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（11分）
故(2n+1)•2n+2•Sn＞(2n-3)•2n+1+192等價(jià)于n•2ⁿ⁺²＞（2n-3）•2ⁿ⁺¹+192
即2ⁿ⁺¹＞64=2⁶，故n＞5…（13分）
∴使(2n+1)•2n+2•Sn＞(2n-3)•2n+1+192成立的最小正整數(shù)n=6．      …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式的求法，其中涉及錯(cuò)裂項(xiàng)法求和在問題中的應(yīng)用．