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4.已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線C:x2a2-y22=1(a>0,b>0)的左右兩個焦點,若在雙曲線C上存在點P使∠F1PF2=90°,且滿足2∠PF1F2=∠PF2F1,那么雙曲線C的離心率為( �。�
A.3+1B.2C.3D.52

分析 由已知得∠F1PF2=90°,∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°,設|PF2|=x,則|PF1|=3x,|F1F2|=2x,由此能求出雙曲線C的離心率.

解答 解如圖,∵∠F1PF2=90°,且滿足2∠PF1F2=∠PF2F1,
∴∠F1PF2=90°,∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°,
設|PF2|=x,則|PF1|=3x,|F1F2|=2x,
∴2a=3xx,2c=2x,
∴雙曲線C的離心率e=ca=2x3xx=3+1
故選:A

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意雙曲線的性質(zhì)的合理運用.

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