Question

11．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E，M分別是線段BC，CC₁，AB的中點(diǎn)，AA₁=2AB=4．
（1）求證：DE∥平面A₁MC；
（2）在線段AA₁上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角A₁-BC-P的余弦值為$\frac{{7\sqrt{19}}}{38}$？若存在，求出AP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AC₁，設(shè)O為A₁C，AC₁的交點(diǎn)，連接OM，OE，MD，推導(dǎo)出四邊形MDEO為平行四邊形，從而DE∥MO．由此能證明DE∥平面A₁MC．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，過D作平面ABC的垂線為z軸，建系，利用向量法能求出存在點(diǎn)P，使得二面角A₁-BC-P的余弦值為$\frac{{7\sqrt{19}}}{38}$，此時PA=1．

解答 證明：（1）如圖，連接AC₁，設(shè)O為A₁C，AC₁的交點(diǎn)，
由題意可知O為AC₁的中點(diǎn)，連接OM，OE，MD，
∵M(jìn)D，OE分別為△ABC，△ACC₁中的AC邊上的中位線，
∴$\overrightarrow{MD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，∴$\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{OE}$，
∴四邊形MDEO為平行四邊形，∴DE∥MO．
又∵DE?平面A₁MC，MO?平面A₁MC，
∴DE∥平面A₁MC．
解：（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，過D作平面ABC的垂線為z軸，建系，
設(shè)PA=a，則D（0，0，0），$A（{\sqrt{3}，0，0}）$，$P（{\sqrt{3}，0，a}）$，${A_1}（{\sqrt{3}，0，4}）$，B（0，1，0），
則$\overrightarrow{PD}=（{\sqrt{3}，0，a}）$，$\overrightarrow{PB}=（{-\sqrt{3}，1，-a}）$，
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{PD}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{PB}=0\end{array}\right.$解得$\overrightarrow{n_1}=（{a，0，-\sqrt{3}}）$．
同理，$\overrightarrow{{A_1}D}=（{-\sqrt{3}，0，-4}）$，$\overrightarrow{{A_1}B}=（{-\sqrt{3}，1，-4}）$，
設(shè)平面BCA₁的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（{{x_2}，{y_2}，{z_2}}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{{A_1}D}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{{A_1}B}=0\end{array}\right.$解得$\overrightarrow{n_2}=（{4，0，-\sqrt{3}}）$．
如圖易得所求二面角為銳角，設(shè)為θ，
則$cosθ=|{\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}}|=|{\frac{4a+3}{{\sqrt{{a^2}+3}•\sqrt{19}}}}|=\frac{{7\sqrt{19}}}{38}$，
解得a=1或$-\frac{37}{5}$（舍），
所以存在點(diǎn)P，使得二面角A₁-BC-P的余弦值為$\frac{{7\sqrt{19}}}{38}$，此時PA=1．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查考查滿足條件的點(diǎn)的位置的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．