Question

17．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x-y≥0}\\{y≥-1}\end{array}}\right.$，則z=2x+y的最大值與最小值的和6．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)C時，直線y=-2x+z的截距最大，
此時z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即C（5，-1），
代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=2×5-1=9．
即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為9．
當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)B時，直線y=-2x+z的截距最小，
此時z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即B（-1，-1），
代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=-1×2-1=-3．
即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最小值為-3．
則最大值與最小值的和為9-3=6，
故答案為：6．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．