Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，O∈AD，AD∥BC，AB⊥AD，AO=AB=BC=1，PO=$\sqrt{2}$，$PC=\sqrt{3}$．
（Ⅰ）證明：平面POC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若AD=2，PA=PD，求CD與平面PAB所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：OC⊥平面PAD，即可證明平面POC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若AD=2，PA=PD，點(diǎn)O作OE⊥PA于E，連結(jié)BE，則OE⊥平面PAB，∠OBE為CD與平面PAB所成的角，即可求CD與平面PAB所成角的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：在四邊形OABC中，
∵AO∥BC，AO=BC，AB⊥AD，
∴四邊形OABC是正方形，得OC⊥AD，-----------------------（2分）
在△POC中，∵PO²+OC²=PC²，∴OC⊥PO，-------（4分）
又PO∩AD=O，∴OC⊥平面PAD，
又OC?平面POC，∴平面POC⊥平面PAD；-------------（6分）
（Ⅱ）解：連結(jié)OB，
∵OD∥BC，且OD=BC∴BCDO為平行四邊形，∴OB∥CD，----------------------------（7分）
由（Ⅰ）知OC⊥平面PAD，∴AB⊥平面PAD，
∵AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD，----------------------------------------------------（8分）
過(guò)點(diǎn)O作OE⊥PA于E，連結(jié)BE，則OE⊥平面PAB，
∴∠OBE為CD與平面PAB所成的角，----------------------（10分）
在Rt△OEB中，∵$OE=\frac{PO•AO}{PA}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}$，$OB=\sqrt{2}$，
∴$cos∠OBE=\frac{BE}{OB}=\frac{{\sqrt{2-\frac{6}{9}}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
即CD與平面PAB所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．--------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面、面垂直的證明，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．