Question

16．（Ⅰ）用分析法證明：$\sqrt{8}$+$\sqrt{7}$＞$\sqrt{5}$+$\sqrt{10}$．
（Ⅱ）設a，b，c均為正實數(shù)，且ab+bc+ca=1．求證：a+b+c≥$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要證原不等式成立，運用兩邊平方和不等式的性質，即可得到證明；
（Ⅱ）運用分析法證明．要證a+b+c≥$\sqrt{3}$，結合條件，兩邊平方，可得a²+b²+c²≥1，運用重要不等式，累加即可得證．

解答 證明：（Ⅰ）要證$\sqrt{8}$+$\sqrt{7}$＞$\sqrt{5}$+$\sqrt{10}$．
即證（$\sqrt{8}$+$\sqrt{7}$）²＞（$\sqrt{5}$+$\sqrt{10}$）²，
即為8+7+2$\sqrt{56}$＞5+10+2$\sqrt{50}$，
即有$\sqrt{56}$＞$\sqrt{50}$，顯然成立，
則原不等式成立；
（Ⅱ）運用分析法證明．
要證a+b+c≥$\sqrt{3}$，
即證（a+b+c）²≥3，
由a，b，c均為正實數(shù)，且ab+bc+ca=1，
即有a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）≥3，
即為a²+b²+c²≥1，①
由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
相加可得a²+b²+c²≥zb+bc+ca=1，
則①成立．
綜上可得，原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用分析法證明，結合均值不等式和不等式的性質，考查推理能力，屬于中檔題．