Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x（a∈R）
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的零點．
（2）若

1

3

≤a≤1，且函數(shù)f（x）=ax²-2x在[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．求g（a）的表達式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）a=1時，f（x）=x²-2x，令f（x）=0，解出即可，
（2）分別討論①

1

3

≤a＜

1

2

時，②

1

2

≤a≤1時的情況，從而求出g（a）的表達式．

解答： 解：（1）a=1時，f（x）=x²-2x，
令f（x）=0，解得：x=0或x=2；
（2）①

1

3

≤a＜

1

2

時，
M（a）=f（x）_max=f（3）=9a-6，
N（a）=f（x）_min=f（

1

a

）=-

1

a

，
∴g（a）=M（a）-N（a）=9a-6+

1

a

，
②

1

2

≤a≤1時，
M（a）=f（x）_max=f（1）=a-2，
N（a）=f（x）_min=f（

1

a

）=-

1

a

，
∴g（a）=M（a）-N（a）=a-2+

1

a

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質，函數(shù)的零點問題，考查函數(shù)的解析式的求法，考查分類討論思想，本題屬于中檔題．