Question

已知圓x²+y²=8內(nèi)有一點(diǎn)P₀（-1，2），AB為過(guò)點(diǎn)P₀且傾斜角為α的弦，
（1）當(dāng)α=135°時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)弦AB被P₀平分時(shí)，圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（3，0）且與直線(xiàn)AB相切于點(diǎn)P₀，求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：（1）當(dāng)α=135°時(shí)，求出直線(xiàn)方程，利用直線(xiàn)和圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)公式即可求弦AB的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)直線(xiàn)和圓相切的位置關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意：圓心O（0，0），r=2

2

，k=-1，則直線(xiàn)AB：y=-x+1；
圓心到直線(xiàn)AB的距離d=

2

2

，弦|AB|=2

r2-d2

=

30

，
（2）由題意，弦AB被P₀平分，則OP₀⊥AB，
∵圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與直線(xiàn)AB相切于點(diǎn)P₀
∴圓M的圓心M為線(xiàn)段CP₀的中垂線(xiàn)與直線(xiàn)OP₀的交點(diǎn)，
∵P₀（-1，2），C（3，0），
∴直線(xiàn)OP₀：y=-2x，CP₀的斜率k=-

1

2

，
線(xiàn)段CP₀的中點(diǎn)為（1，1），
∴CP₀的中垂線(xiàn)方程為y=2x-1，
由

y=-2x y=2x-1

，解得

x= 1 4 y=- 1 2

，即M（

1

4

，-

1

2

），
半徑R=|MP₀|=

5 5

4

，
故圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-

1

4

）²+（y+

1

2

）²=

125

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解以及直線(xiàn)和圓相交的弦長(zhǎng)公式的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算你來(lái)了．