13．函數(shù)y=$\frac{（1-x）^{2}}{x}$+$\frac{{x}^{2}}{1-x}$（0＜x＜1）的最小值為1．

分析 變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：y=$\frac{（1-x）^{2}}{x}$+$\frac{{x}^{2}}{1-x}$=$\frac{1-2x+{x}^{2}}{x}$+$\frac{{x}^{2}-1+1}{1-x}$=$\frac{1}{x}$-2+x-（x+1）+$\frac{1}{1-x}$=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$-3，
∵0＜x＜1，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$=[x+（1-x）]$（\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}）$=2+$\frac{1-x}{x}$+$\frac{x}{1-x}$≥2+2$\sqrt{\frac{1-x}{x}×\frac{x}{1-x}}$=4，當且僅當1-x=x，即x=$\frac{1}{2}$時取等號．
∴函數(shù)y=$\frac{（1-x）^{2}}{x}$+$\frac{{x}^{2}}{1-x}$（0＜x＜1）的最小值為1．
故答案為：1．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

3．已知圓的方程為x2+y2=2，若直線y=x-b與圓相切，則b等于（　�。�
A．2B．-2C．0D．2或-2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．閱讀下面材料：
根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ   ①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ   ②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ  ③
令α+β=A，α-β=B 有α=$\frac{A+B}{2}$，β=$\frac{A-B}{2}$
代入③得 sinA+sinB=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$．
（Ⅰ）類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：
cosA-cosB=2sin$\frac{A+B}{2}$sin$\frac{A-B}{2}$．；
（Ⅱ）在△ABC中，求T=sinA+sinB+sinC+sin$\frac{π}{3}$的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

1．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足：$\overrightarrow{a}$=（2，-3）、$\overrightarrow$=（x，6），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$．則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的值為（　�。�
A．$\sqrt{5}$B．$\sqrt{13}$C．5D．13

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．設(shè)函數(shù)f（x）=x2-2x+mlnx+1，其中m為常數(shù)．
（1）若m≥$\frac{1}{2}$，證明：函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）有唯一極值點，求實數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．已知二階矩陣M有特征值λ=3，及對應(yīng)的一個特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，并且M對應(yīng)的變換將點（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．
（2）在極坐標系中，設(shè)圓C經(jīng)過點P（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），圓心是直線$ρsin（\frac{π}{3}-θ）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$與極軸的交點，求圓C的極坐標方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+k}{{e}^{x}}$（其中k∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)），f′（x）為f（x）導函數(shù)．
（Ⅰ）若k=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若f′（1）=0，試證明：對任意x＞0，f′（x）＜$\frac{{e}^{-2}+1}{{x}^{2}+x}$恒成立．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

5．已知函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x2-x+a（a∈R）在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

6．已知函數(shù)f（x）=ln（mx）-x+1，g（x）=（x-1）ex-mx，m＞0．
（Ⅰ）若f（x）的最大值為0，求m的值；
（Ⅱ）求證：g（x）僅有一個極值點x0，且$\frac{1}{2}$ln（m+1）＜x0＜m．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案