【題目】設(shè)區(qū)間,定義在上的函數(shù)(),集合.
(1)若,求集合;
(2)設(shè)常數(shù).
① 討論的單調(diào)性;
② 若,求證:.
【答案】(1)(2)①見解析;②見證明
【解析】
(1)把b代入函數(shù)解析式,求出導(dǎo)函數(shù),由f′(x)0,可知f(x)在[﹣3,3]上為增函數(shù),求出函數(shù)的最小值,由最小值大于0求得a的取值范圍;
(2)①求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),解得導(dǎo)函數(shù)的零點,然后根據(jù)與3的關(guān)系分類求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
②當(dāng)b<﹣1時,由①可知,當(dāng)0<a時,求得函數(shù)的最小值小于0,得到矛盾,故此時實數(shù)a不存在;當(dāng)a時,由①可得f(x)min={f(﹣3),f()},得到f(﹣3)<0,這與x∈D,f(x)≥0恒成立矛盾,故此時實數(shù)a不存在;若f(﹣3)>0,證明f()<0,這與x∈D,f(x)≥0恒成立矛盾,故此時實數(shù)a不存在.
(1)當(dāng)時,,則.
由可知恒成立,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以,解得,
所以集合
(2)① 由得,
因為,則由,得.
在上列表如下:
+ | 0 | - | 0 | + | |
單調(diào)遞增 | 極大值 | 單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 |
(。┊(dāng),即時,
則,所以在上單調(diào)遞減;
(ⅱ)當(dāng),即時,此時,
在和上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.
綜上,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,在,上單調(diào)遞增;
在上單調(diào)遞減
②(方法一)當(dāng)時,由①可知,
(。┊(dāng)時,在上單調(diào)遞減,
所以,
這與恒成立矛盾,故此時實數(shù)不存在;
(ⅱ)當(dāng)時,在,上單調(diào)遞增;
在上單調(diào)遞減,
所以.
若,這與恒成立矛盾,
故此時實數(shù)不存在;
若,此時,
又,則,
.
下面證明,也即證:.
因為,且,則,
下證:.
令,則,
所以在上單調(diào)遞增,所以,即.
這與恒成立矛盾,故此時實數(shù)不存在.
綜上所述,.
(方法二)(。┊(dāng)時,成立;
(ⅱ)當(dāng)時,由題意可知恒成立,則,
設(shè),則,
令,解得.
因為,所以,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以,所以;
(ⅲ)當(dāng)時,由題意可知恒成立,則.
設(shè),則,
因為,所以恒成立,所以在上單調(diào)遞增,
所以,
所以.
若,則存在實數(shù)滿足,
則成立,即,
也即成立,
則,這與矛盾,所以.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》卷第五《商功》中有記載:“芻甍者,下有袤有廣,而上有袤無廣.芻,草也.甍,屋蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形,頂部只有長沒有寬為一條棱.芻甍字面意思為茅草屋頂.”現(xiàn)有一個芻甍,如圖,四邊形為正方形,四邊形、為兩個全等的等腰梯形,,,若這個芻甍的體積為,則的長為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點.研究表明:“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時,某種魚在一定的條件下,每尾魚的平均生長速度(單位:千克/年)是養(yǎng)殖密度(單位:尾/立方米)的函數(shù).當(dāng)時,的值為2千克/年;當(dāng)時,是的一次函數(shù);當(dāng)時,因缺氧等原因,的值為0千克/年.
(1)當(dāng)時,求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式.
(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度為多少時,魚的年生長量(單位:千克/立方米)可以達(dá)到最大?并求出最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓O:x2+y2=8內(nèi)有一點P0(﹣1,2),AB為過點P0且傾斜角為α的弦.
(1)當(dāng)α=135°時,求弦AB的長;
(2)當(dāng)弦AB被P0平分時,求直線AB的方程.
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【題目】已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,且.
(1)求的表達(dá)式;
(2)若將圖像上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,再將所得圖像向右平移個單位,得到的圖像,且關(guān)于的方程在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】第二屆中國國際進(jìn)口博覽會于2019年11月5日至10日在上海國家會展中心舉行,來自151個國家和地區(qū)的3617家企業(yè)參展,規(guī)模和品質(zhì)均超過首屆.更多新產(chǎn)品、新技術(shù)、新服務(wù)“全球首發(fā),中國首展”,專(業(yè))精(品)尖(端)特(色)產(chǎn)品精華薈萃.某跨國公司帶來了高端空調(diào)模型參展,通過展會調(diào)研,中國甲企業(yè)計劃在2020年與該跨國公司合資生產(chǎn)此款空調(diào).生產(chǎn)此款空調(diào)預(yù)計全年需投入固定成本260萬元,每生產(chǎn)x千臺空調(diào),需另投入資金萬元,且.經(jīng)測算生產(chǎn)10千臺空調(diào)需另投入的資金為4000萬元.由調(diào)研知,每臺空調(diào)售價為0.9萬元時,當(dāng)年內(nèi)生產(chǎn)的空調(diào)當(dāng)年能全部銷售完.
(1)求2020年的企業(yè)年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)2020年產(chǎn)量為多少(千臺)時,企業(yè)所獲年利潤最大?最大年利潤是多少?注:利潤=銷售額–成本
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),且),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,并將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)求曲線與曲線交點的極坐標(biāo).
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