Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=4，a_n+2+2a_n=3a_n+1（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1-a_n}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n]的通項公式；
（3）記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求使得S_n＞21-2n成立的最小整數(shù)n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+2+2a_n=3a_n+1（n∈N^*），變形為a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），a₂-a₁=3，利用等比數(shù)列的定義即可證明．
（2）由（1）可得an+1-an=3×2n-1，利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，及其等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．
（3）由an=3×2n-1-2，利用被盯上了的前n項和公式可得S_n=3×2ⁿ-2n-3，由S_n＞21-2n化為2ⁿ＞8，解得n即可．

解答： （1）證明：∵a_n+2+2a_n=3a_n+1（n∈N^*），變形為a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），a₂-a₁=3，
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}為等比數(shù)列，首項為3，公比為2；
（2）解：由（1）可得an+1-an=3×2n-1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=3（2^n-2+2^n-3+…+1）+1=3×

2n-1-1

2-1

+1=3×2^n-1-2，
當n=1時也滿足，
∴an=3×2n-1-2．
（3）解：∵an=3×2n-1-2，
∴S_n=

3×(2n-1)

2-1

-2n=3×2ⁿ-2n-3，
由S_n＞21-2n化為2ⁿ＞8，解得n＞3，
∴使得S_n＞21-2n成立的最小整數(shù)n=4．

點評：本題考查了等比數(shù)列的定義通項公式及其前n項和公式、一元二次不等式的解法、“累加求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．