Question

已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-ax²-4x+4a
（1）若a=

1

2

，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在（2，+∞）上是單調(diào)遞增的，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由a=

1

2

，代入原函數(shù)并求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得函數(shù)在[-2，2]上的單調(diào)性，進(jìn)而求得在[-2，2]上的最大值和最小值．
（2）由f（x）在（2，+∞）上是單調(diào)遞增的，可得3x²-2ax-4≥0在（2，+∞）上恒成立，分離參數(shù)，求最值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-ax²-4x+4a，a=

1

2

，
∴f'（x）=3x²-x-4=（x+1）（3x-4）＞0得x＜-1或x＞

4

3

；
由f'（x）=（x+1）（3x-4）＜0得-1＜x＜

4

3

．
∴函數(shù)f（x）在[-2，-1]上遞增，在[-1，

4

3

]上遞減，在[

4

3

，2]上遞增．
綜上，f（x）在[-2，2]上的最大值為f（-1）=

9

2

，最小值為f（

4

3

）=-

50

27

；
（2）∵f（x）=x³-ax²-4x+4a，
∴f'（x）=3x²-2ax-4，
∵f（x）在（2，+∞）上是單調(diào)遞增的，
∴3x²-2ax-4≥0在（2，+∞）上恒成立，
∴2a≤3x-

4

x

在（2，+∞）上恒成立，
∴2a≤6-2，
∴a≤2．

點(diǎn)評(píng)：：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合考查，屬于中檔題．