Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

1

2

x2-（1+a）x（x＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）n∈N^*，求證：

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

ln(n+1)

＞

3n+1

2n+2

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=

x2-(1+a)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，由此利用導數(shù)性質(zhì)和分類討論思想能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）由f（x）≥0，得a≤

1

2

×

x2-2x

x-lnx

，（x＞0）恒成立，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）當x≥3時，

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

x-1

-

1

x

，又

1

ln2

＞1，由此能證明

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

ln(n+1)

＞

3n+1

2n+2

．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=alnx+

1

2

x2-（1+a）x，（x＞0）．
∴f′(x)=

x2-(1+a)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，x＞0．
當a≤0時，f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當0＜a＜1時，f（x）在（a，1）單調(diào)遞減，在（0，a），（1，+∞）是單調(diào)遞增；
當a=1時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當a＞1時，f（x）在（1，a）單調(diào)遞減，在（0，1），（a，+∞）是單調(diào)遞增．
（Ⅱ）解：由f（x）≥0，得a≤

1

2

×

x2-2x

x-lnx

，（x＞0）恒成立，
∴即f（x）≥f（1）≥0，
∴若f（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-

1

2

）．
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知：a=-

1

2

時，
f（x）=-

1

2

lnx+

1

2

x2-

1

2

x≥0，
即lnx≤x²-x，（x=1時取等號），
∴當x≥3時，

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

x-1

-

1

x

，
又

1

ln2

＞1，
∴

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

ln(n+1)

＞1+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1+

1

2

-

1

n+1

=

3n+1

2n+2

．
∴

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

ln(n+1)

＞

3n+1

2n+2

．

點評：本題考查的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．