Question

7．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)（4，0），且其漸近線與圓（x-2）²+y²=3相切，則雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，圓的圓心與半徑，利用已知條件列出方程求解即可．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)（4，0），可得c=4，a²+b²=16，
雙曲線的一條漸近線方程為：bx+ay=0，圓（x-2）²+y²=3的圓心（2，0），半徑為$\sqrt{3}$．
漸近線與圓（x-2）²+y²=3相切，
可得：$\frac{|2b|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\sqrt{3}$，
解得b=2$\sqrt{3}$，a=2，
所求的雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程與雙曲線方程的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．