Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為

2

3

，短軸長(zhǎng)為

1

2

，直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C方程；
（Ⅱ）若直線MN與圓O：x²+y²=

1

25

相切，證明：∠MON為定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求|OM|•|ON|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知得2a=

2

3

，2b=

1

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）當(dāng)直線MN⊥x軸時(shí)，∠MON=

π

2

．當(dāng)直線MN與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線MN：y=kx+b，直線MN與與圓O：x2+y2=

1

25

的交點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直線MN與圓O相切，得25b²=k²+1，聯(lián)立

y=kx+b 9x2+16y2=1

，得（9+16k²）x²+32kbx+16b²-1=0，由此能證明∠MON=

π

2

為定值．
（Ⅲ）設(shè)∠XOM=θ，則∠XON=θ±

π

2

，由三角函數(shù)定義知M（|OM|cosθ，|OM|sinθ），N（±|ON|sinθ，±|ON|cosθ），從而

1

|OM|2

=（9cos²θ+16sin²θ）（9sin²θ+16cos²θ）=9×16+（9-16）²•

1

4

sin²2θ，由此能求出|OM|的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離和為

2

3

，
得2a=

2

3

，即a=

1

3

；
由短軸長(zhǎng)為

1

2

，得2b=

1

2

，即b=

1

4

．
∴橢圓C的方程為：9x²+16y²=1．
（Ⅱ）證明：當(dāng)直線MN⊥x軸時(shí)，∵直線MN與圓O：x2+y2=

1

25

相切，
∴直線MN方程為：x=

1

5

或x=-

1

5

，
當(dāng)直線方程為x=

1

5

，得兩點(diǎn)分別為（

1

5

，

1

5

）和（

1

5

，-

1

5

），
故

OM

•

ON

=0，∠MON=

π

2

．
同理當(dāng)x=-

1

5

時(shí)，∠MON=

π

2

．
當(dāng)直線MN與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線MN：y=kx+b，直線MN與與圓O：x2+y2=

1

25

的交點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由直線MN與圓O相切得d=

|b|

k2+1

=

1

5

，即25b²=k²+1，①
聯(lián)立

y=kx+b 9x2+16y2=1

，得（9+16k²）x²+32kbx+16b²-1=0，
∴△＞0，x1+x2=-

32kb

9+16k2

，x1x2=

16b2-1

9+16k2

，
由

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2
=

25b2-k2-1

9+16k2

，②
由①②，得

OM

•

ON

=0，即∠MON=

π

2

，
綜上，∠MON=

π

2

為定值．
（Ⅲ）解：不妨設(shè)∠XOM=θ，則∠XON=θ±

π

2

，
由三角函數(shù)定義知M（|OM|cosθ，|OM|sinθ），N（±|ON|sinθ，±|ON|cosθ），
∵M(jìn)，N都在9x²+16y²=1上，
∴

1

|OM|2

=（9cos²θ+16sin²θ）（9sin²θ+16cos²θ）
=9×16+（9-16）²sin²θcos²θ
=9×16+（9-16）²•

1

4

sin²2θ，
又sin²2θ∈[0，1]，故（

1

|OM|

•

1

|ON|

）²∈[9×16，(

9+16

2

)2]，
∴|OM|的取值范圍是[

2

25

，

1

12

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查角為定值的證明，考查線段的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．