Question

20．在△ABC中，a=2，A=45°，若此三角形有兩解，則b的取值范圍是（　　）

• A． （2，2$\sqrt{2}$）
• B． （2，+∞）
• C． （-∞，2）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 利用正弦定理和b和sinB求得b和sinB的關(guān)系，利用A求得B+C；要使三角形兩個(gè)這兩個(gè)值互補(bǔ)先看若B≤45°，則和B互補(bǔ)的角大于135°進(jìn)而推斷出A+B＞180°與三角形內(nèi)角和矛盾；進(jìn)而可推斷出45°＜B＜135°若B=90°，這樣補(bǔ)角也是90°，一解不符合題意進(jìn)而可推斷出sinB的范圍，利用sinB和b的關(guān)系求得b的范圍．

解答 解：∵a=2，A=45°，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=2\sqrt{2}$，解得b=2$\sqrt{2}$sinB，
∵B+C=180°-45°=135°，由B有兩個(gè)值，則這兩個(gè)值互補(bǔ)，
若B≤45°，
則和B互補(bǔ)的角大于135°，這樣A+B＞180°，不成立，
∴45°＜B＜135°，
又若B=90°，這樣補(bǔ)角也是90°，一解，
所以$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sinB＜1，
b=2$\sqrt{2}$sinB，
所以2＜b＜2$\sqrt{2}$．
則b的取值范圍是為：（2，2$\sqrt{2}$）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，解三角形與不等式的綜合，考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和基本的運(yùn)算能力，屬于中檔題．