Question

12．在△ABC中，若$\frac{sin（A-B）}{sin（A+B）}$=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，則△ABC的形狀一定是等腰或直角三角形．

Answer 1

分析 先利用三角函數(shù)的和角公式化左邊=2R（sinAcosB-cosAsinB），再利用余弦化成三角形邊的關(guān)系化簡(jiǎn)已知等式“（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sinC，”，得到a²=b²或a²+b²=c²，從而得出該三角形是等腰三角形或直角三角形．

解答 解：∵2Rsin（A-B）=2R（sinAcosB-cosAsinB）=2RsinAcosB-2RsinBcosA=a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$-b•$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{c}$，
∴sin（A-B）=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{2Rc}$，
∴已知等式變形得：（a²+b²）•$\frac{{a}^{2}-^{2}}{2Rc}$=（a²-b²）•$\frac{c}{2R}$，
∴a²=b²或a²+b²=c²，
∴a=b，或C=$\frac{π}{2}$，
則△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故答案為：等腰三角形或直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．