Question

13．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=6，且a_n+2-2a_n+1+a_n=2，若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則$[\frac{2017}{{a}_{1}}+\frac{2017}{{a}_{2}}+…+\frac{2017}{{a}_{2017}}]$=（　�。�

• A． 2015
• B． 2016
• C． 2017
• D． 2018

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=6，且a_n+2-2a_n+1+a_n=2，即（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n+1-a_n=2n+2．再利用累加求和方法可得a_n=n（n+1）．利用裂項(xiàng)求和方法即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=6，且a_n+2-2a_n+1+a_n=2，即（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為2．
∴a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2n+2（n-1）+…+2×2+2
=$2×\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1）．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}）$=$1-\frac{1}{2018}$．
∴$[\frac{2017}{{a}_{1}}+\frac{2017}{{a}_{2}}+…+\frac{2017}{{a}_{2017}}]$=$[2017-\frac{2017}{2018}]$=2016．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、累加求和方法與裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．