Question

【題目】已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與軸， 軸分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)，且，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)， 的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)，過點(diǎn)分別做軸的垂線，垂足分別為.

（1） 若橢圓的左、右焦點(diǎn)與其短軸的一個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，求橢圓的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)平分線段，求橢圓的離心率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合題意利用待定系數(shù)法列出關(guān)于 的方程組，求解方程組即可得到橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)結(jié)合(1)中的結(jié)論聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合題意得到 的值，利用點(diǎn)平分線段 ,然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于 的齊次方程 ，據(jù)此得到結(jié)論 ，然后求解橢圓的離心率即可，注意檢驗(yàn)結(jié)果的合理性.

試題解析：

（1）由題意得

∴

∴所以橢圓的方程為；

（2）當(dāng)時(shí)，由得，

∵,

∴,

∴直線的方程為，

設(shè)，由 得

∴，∴

設(shè)，由 得

∴，∴，

∵點(diǎn)平分線段，∴，

∴，∴，

∴，代入橢圓方程得，符合題意，

∵，∴.