Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，直線與曲線和曲線都相切，切點(diǎn)分別為，，求證：．

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）首先寫出函數(shù)定義域?yàn)?/span>，求得，對(duì)的范圍進(jìn)行討論，從而確定出的符號(hào)，確定出函數(shù)的單調(diào)性；

（2）可以從兩個(gè)角度去分析，方法一是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，寫出直線的方程為，即，也可以寫成，根據(jù)兩條直線是同一條直線，得到，且，對(duì)式子進(jìn)行整理可以得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而可以證得結(jié)果；方法二是根據(jù)兩條切線的斜率想的得到，進(jìn)一步可以得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性及最值得到結(jié)果.

（1）定義域?yàn)?/span>，

因?yàn)?/span>，

若，則，所以在單調(diào)遞增，

若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（2）證法一：

證明：對(duì)于曲線，，

直線的方程為，

即，即①．

對(duì)于曲線，因?yàn)?/span>，所以

所以，

直線的方程為，

即，即②．

因?yàn)棰倥c②表示同一條直線，所以③，

且④，

④÷③，得，

所以．

令，

，

由（1）知，在單調(diào)遞增又

∴

有唯一零點(diǎn)，

且當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，，，

所以在上遞增，在上遞減，

所以，

又，即，

所以，

所以，所以，

又，所以．

證法二：

證明：因?yàn)?/span>，所以直線的斜率為，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以直線的斜率為，

所以，所以，

又因?yàn)?/span>，

所以，

所以，

令，

所以，所以在單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/span>，，

所以存在，使得，

且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在遞減，在遞增，

因?yàn)?/span>，所以在遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，

所以在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，

因?yàn)?/span>是的零點(diǎn)且，所以．