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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C: + =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 點P(3,1)在橢圓上,△PF1F2的面積為2
(1)①求橢圓C的標準方程; ②若∠F1QF2= ,求QF1QF2的值.
(2)直線y=x+k與橢圓C相交于A,B兩點,若以AB為直徑的圓經過坐標原點,求實數k的值.

【答案】
(1)解:①由條件,可設橢圓的標準方程為 ,將點P(3,1)代入橢圓方程,

,

= 2c1=2 ,即

又a2=b2+c2,

∴a2=12,b2=4,

∴橢圓的標準方程為: ;

②當 時,有


(2)解:設A(x1,y1),B(x2,y2),由 ,得4x2+6kx+3k2﹣12=0

由韋達定理及直線方程可知: ,

∵以AB為直徑的圓經過坐標原點,則

解得: ,此時△=120>0,滿足條件,

因此


【解析】(1)由三角形的面積 = 2c1,即可求得 ,將點P(3,1)代入橢圓方程,由橢圓的性質a2=b2+c2 , 即可求得a和b的值,求得橢圓方程;當 時,根據橢圓的性質及完全平方公式,即可求得QF1QF2的值;(2)將直線方程代入橢圓方程,求得關于x的一元二次方程,由韋達定理求得x1x2及y1y2 , 由題意可知 =0,根據向量數量積的坐標運算,即可求得實數k的值.

練習冊系列答案
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)求這兩個班學生成績的中位數及x的值;

)如果將這些成績分為優(yōu)秀(得分在175分 以上,包括175分)和過關,若學校再從這兩個班獲得優(yōu)秀成績的考生中選出3名代表學校參加比賽,求這3人中甲班至多有一人入選的概率.

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1)應收集多少位女生的樣本數據?

2)根據這300樣本數據,得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數據的分組區(qū)間為: .估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率;

3)在樣本數據中,有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時,請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯表,并判斷是否有95%的把握認為該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關


0.10

0.05

0.010

0.005


2.706

3.841

6.635

7.879

附:

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【題目】已知函數

(1)若在區(qū)間上單調遞增,求實數的取值范圍;

(2)若在區(qū)間上,函數的圖象恒在曲線下方,求的取值范圍.

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【題目】已知函數f(x)=x﹣lnx,g(x)=x2﹣ax.
(1)求函數f(x)在區(qū)間[t,t+1](t>0)上的最小值m(t);
(2)令h(x)=g(x)﹣f(x),A(x1 , h(x1)),B(x2 , h(x2))(x1≠x2)是函數h(x)圖象上任意兩點,且滿足 >1,求實數a的取值范圍;
(3)若x∈(0,1],使f(x)≥ 成立,求實數a的最大值.

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(1)求m的值;
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(1)求證:平面;

(2)求直線和平面所成角的正弦值.

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