Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 點P（3，1）在橢圓上，△PF1F2的面積為2 ．
（1）①求橢圓C的標準方程； ②若∠F1QF2= ，求QF1QF2的值．
（2）直線y=x+k與橢圓C相交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓經過坐標原點，求實數k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①由條件，可設橢圓的標準方程為 ，將點P（3，1）代入橢圓方程，

∴ ，

由 = 2c1=2 ，即

又a2=b2+c2，

∴a2=12，b2=4，

∴橢圓的標準方程為： ；

②當 時，有

∴

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），由 ，得4x2+6kx+3k2﹣12=0

由韋達定理及直線方程可知： ，

∵以AB為直徑的圓經過坐標原點，則 ，

解得： ，此時△=120＞0，滿足條件，

因此

【解析】（1）由三角形的面積 = 2c1，即可求得 ，將點P（3，1）代入橢圓方程，由橢圓的性質a2=b2+c2 ， 即可求得a和b的值，求得橢圓方程；當 時，根據橢圓的性質及完全平方公式，即可求得QF1QF2的值；（2）將直線方程代入橢圓方程，求得關于x的一元二次方程，由韋達定理求得x1x2及y1y2 ， 由題意可知 =0，根據向量數量積的坐標運算，即可求得實數k的值．