Question

20．（1）證明：C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m；
（2）證明：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1．

Answer 1

分析 （1）三種方法：法一：直接利用組合數(shù)的計(jì)算公式即可證明．
法二：（構(gòu)造）從一個(gè)裝有n個(gè)不同的紅球和1個(gè)黃球的口袋中取出m個(gè)不同球，共得到$C_{n+1}^m$個(gè)不同組合，我們可將這些組合分成兩類：一類全是紅球，則從n個(gè)紅球中取m個(gè)不同的球；一類含有黃球，則從n個(gè)紅球中再取出m-1個(gè)，即可得出．
法三（構(gòu)造）分別求（1+x）ⁿ⁺¹和（1+x）（1+x）ⁿ的展開式中x^m的系數(shù)，利用二項(xiàng)式定理的展開式即可得出．
（2）法一：倒序相加法；
法二：公式法：利用公式$rC_n^r=nC_{n-1}^{r-1}$和$C_n^0+C_n^1+…+C_n^n={2^n}$，即可證明．
法三：構(gòu)造函數(shù)f （x）=（1+x）ⁿ=$C_n^0+C_n^1x+C_n^2{x^2}+…+C_n^nx_{\;}^n$，兩邊求導(dǎo)得：令x=1即可證明．

解答 證明：（1）三種方法：法一：直接代公式：C_n^m+C_n^m-1=$\frac{n!}{m!（n-m）!}$+$\frac{n!}{（m-1）!（n-m+1）!}$=$\frac{n�。╪-m+1）}{m!（n-m+1）!}$+$\frac{n!m}{m!（n-m+1）!}$=$\frac{（n+1）•n!}{m!（n-m+1）!}$=$\frac{（n+1）!}{m!（n+1-m）!}$，
又C_n+1^m=$\frac{（n+1）!}{m!（n+1-m）!}$，∴C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m．
法二：（構(gòu)造）從一個(gè)裝有n個(gè)不同的紅球和1個(gè)黃球的口袋中取出m個(gè)不同球，共得到$C_{n+1}^m$個(gè)不同組合，我們可將這些組合分成兩類：一類全是紅球，則從n個(gè)紅球中取，可得到$C_n^m$個(gè)不同組合；一類含有黃球，則從n個(gè)紅球中再取出m-1個(gè)，則得到$C_n^{m-1}$個(gè)不同組合，所以$C_n^m+C_n^{m-1}=C_{n+1}^m$．
法三（構(gòu)造）分別求（1+x）ⁿ⁺¹和（1+x）（1+x）ⁿ的展開式中x^m的系數(shù)，
（1+x）ⁿ⁺¹的展開式中x^m的系數(shù)為$C_{n+1}^m$；
（1+x）（1+x）ⁿ=（1+x）（$C_n^0+C_n^1x+…+C_n^{m-1}x_{\;}^{m-1}+C_n^m{x^m}+…+C_n^nx_{\;}^n$）的展開式中x^m的系數(shù)為1×$C_n^m$+1×$C_n^{m-1}$=$C_n^m$+$C_n^{m-1}$，
∵（1+x）ⁿ⁺¹=（1+x）（1+x）ⁿ，∴展開式中x^m的系數(shù)也相等，∴$C_n^m+C_n^{m-1}=C_{n+1}^m$．
（2）法一：倒序相加法：f（n）=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，f（n）=nC_nⁿ+（n-1）${∁}_{n}^{n-1}$…+3C_n³+2C_n²+C_n¹，∴2f（n）=nC_nⁿ+（n-1+1）${∁}_{n}^{1}$+…+（1+n-1）${∁}_{n}^{n-1}$+n${∁}_{n}^{n}$
=n（${∁}_{n}^{0}$+${∁}_{n}^{1}$+…+${∁}_{n}^{n-1}$+${∁}_{n}^{n}$）=n•2ⁿ，∴f（n）=n•2^n-1．
法二：公式法：利用公式$rC_n^r=nC_{n-1}^{r-1}$，則C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n${∁}_{n-1}^{0}$+n${∁}_{n-1}^{1}$+…+n${∁}_{n-1}^{n-1}$=n（${∁}_{n-1}^{0}$+${∁}_{n-1}^{1}$+…+${∁}_{n-1}^{n-1}$）=n•2^n-1，
∴C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1．
法三：構(gòu)造函數(shù)f （x）=（1+x）ⁿ=$C_n^0+C_n^1x+C_n^2{x^2}+…+C_n^nx_{\;}^n$，兩邊求導(dǎo)得：$n{（1+x）^{n-1}}=C_n^1+2C_n^2{x^1}+3C_n^3{x^2}…+nC_n^nx_{\;}^{n-1}$
令x=1得：$C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+…+nC_n^n=n•{2^{n-1}}$成立．

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式定理展開式的系數(shù)的性質(zhì)、組合數(shù)的性質(zhì)、組合數(shù)的計(jì)算公式、“倒敘相加法”、“構(gòu)造法”、“導(dǎo)數(shù)法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．