Question

8．拋物線(xiàn)y²=2x與直線(xiàn)l相交于A，B兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，則直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)（2，0）．

Answer 1

分析 設(shè)直線(xiàn)l：x=my+b，代入拋物線(xiàn)y²=2x，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)直線(xiàn)l：x=my+b，代入拋物線(xiàn)y²=2x，可得y²-2my-2b=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2b，
∴x₁x₂=（my₁+b）（my₂+b）=b²，
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=b²-2b=0，
∵b≠0，
∴b=2，
∴直線(xiàn)l：x=my+2，
∴直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)（2，0）．
故答案為：（2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．