Question

5．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，已知a₁=1，$\frac{S_2}{2}+\frac{S_3}{3}+\frac{S_4}{4}$=12．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，b_n的前n項(xiàng)和T_n，求證；T_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用前n項(xiàng)和公式列方程計(jì)算公差d，從而得出a_n；
（2）b_n=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$），使用裂項(xiàng)法求出T_n即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則S₂=2a₁+d，S₃=3a₁+3d，S₄=4a₁+6d，
∵$\frac{S_2}{2}+\frac{S_3}{3}+\frac{S_4}{4}$=12，
∴3a₁+3d=12，即3+3d=12，
解得d=3，
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（2）b_n=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$）+…+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$）
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$）
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）
=$\frac{n}{3n+1}$
∴T_n=$\frac{n}{3n+1}$＜$\frac{n}{3n}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，求和公式，數(shù)列求和的計(jì)算，屬于中檔題．