Question

如圖，一簡(jiǎn)單組合體的一個(gè)面ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC⊥平面ABC．
（1）證明：BC⊥平面ACD；
（2）若AB=2，BC=1，tan∠EAB=

3

2

，試求該簡(jiǎn)單組合體的體積V．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知可得DC⊥BC，BC⊥AC且DC∩AC=C，從而有BC⊥平面ADC．
（2）解法1：所求簡(jiǎn)單組合體的體積：V=V_E-ABC+V_E-ADC，根據(jù)已知，可先求BE=

3

，AC=

AB2-BC2

=

3

，求得VE-ADC=

1

3

S△ADC•DE=

1

6

AC•DC•DE=

1

2

，
VE-ABC=

1

3

S△ABC•EB=

1

6

AC•BC•EB=

1

2

，從而可求該簡(jiǎn)單組合體的體積V．
解法2：將該簡(jiǎn)單組合體還原成一側(cè)棱與底面垂直的三棱柱，可先求BE=

3

，AC=

AB2-BC2

=

3

，由V=V_ACB-FDE-V_E-ADF即可求該簡(jiǎn)單組合體的體積V．

解答： 解：（1）證明：
∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC∴DC⊥BC．----------------（2分）
∵AB是圓O的直徑∴BC⊥AC且DC∩AC=C
∴BC⊥平面ADC．------------------------------------（5分）

（2）解法1：所求簡(jiǎn)單組合體的體積：V=V_E-ABC+V_E-ADC-----（7分）
∵AB=2，BC=1，tan∠EAB=

EB

AB

=

3

2

∴BE=

3

，AC=

AB2-BC2

=

3

-------------（9分）
∴VE-ADC=

1

3

S△ADC•DE=

1

6

AC•DC•DE=

1

2

-------（12分）
VE-ABC=

1

3

S△ABC•EB=

1

6

AC•BC•EB=

1

2

---------（13分）
∴該簡(jiǎn)單幾何體的體積V=1-------------------------------（14分）
解法2：將該簡(jiǎn)單組合體還原成一側(cè)棱與底面垂直的三棱柱---（7分）
如圖∵AB=2，BC=1，tan∠EAB=

EB

AB

=

3

2

∴BE=

3

，AC=

AB2-BC2

=

3

-------------（10分）
∴V=V_ACB-FDE-V_E-ADF=S△ACB•DC-

1

3

S△ADC•DE------------（12分）
=

1

2

AC•CB•DC-

1

6

AC•DC•DE
=

1

2

×

3

×1×

3

-

1

6

×

3

×

3

×1=1-------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了直線與平面垂直的性質(zhì)，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積的解法，屬于基本知識(shí)的考查．