Question

已知函數(shù)f（x）=x+

4

x

（1）證明：f（x）在x∈[2，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求f（x）在[4，12]上的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f′（x），然后說明x∈[2，+∞）時f′（x）≥0即可；
（2）根據(jù)（1）知f（x）在[4，12]上單調(diào)遞增，所以根據(jù)單調(diào)性即可求出f（x）在[4，12]上的值域．

解答： 解：（1）f′（x）=1-

4

x2

=

x2-4

x2

；
∴x∈[2，+∞）時，f′（x）≥0；
∴f（x）在x∈[2，+∞）上是增函數(shù)；
（2）由（1）知f（x）在[4，12]上單調(diào)遞增；
∴x∈[4，12]時，f(x)∈[f(4)，f(12)]=[5，

37

3

]；
即f（x）在[4，12]上的值域為[5，

37

3

]．

點評：考查通過說明函數(shù)導數(shù)f′（x）≥0來證明函數(shù)f（x）在一區(qū)間上是增函數(shù)的方法，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域．