Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（ax-

x

）（a＞0，a≠1為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若a=2，x∈[1，9]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)成立的條件，即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）利用換元法，令2x-

x

=t，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出不等式，解得即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a（ax-

x

）
∴ax-

x

＞0
∴

x

（a

x

-1）＞0，
∵

x

＞0，
∴a

x

-1＞0，
∵a＞0，
∴

x

＞

1

a

．
∴x＞

1

a2

，
所以定義域?yàn)椋?span id="4xajs93" class="MathJye">

1

a2

，+∞）．
（2）a=2時(shí)，f（x）=log₂（2x-

x

），
令2x-

x

=t，
則t=2x-

x

=2（

x

-

1

4

）²-

1

8

因?yàn)閤∈[1，9]，
所以t∈[1，15]，
所以log₂1≤log₂（2x-

x

）≤log₂15，
即0≤f（x）≤log₂15
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，log₂15]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的定義域和值域，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．